〜無駄な公式 002〜 直線の方程式 　[1] 異なる２点 , を通る直線の方程式 　　　　　 　 　[2] 曲線 上の点 における接線の方程式 　　　　　 　これらを別々の公式として暗記することは、数学をつまらなくするだけです。 　これらの公式のおおもとをきちんと押さえて、上の二つはその応用であることを理解す れば、暗記など必要ないのです。その意味で、これらを無駄な公式としたのです。 おおもとの公式 　[0] 点 を通り、傾きが の直線の方程式 　　　　　 [1] について 　 のときは、２点の座標から直線の傾き は計 算できます。 　　　 これと点 で、公式[0]を使えば良いのです。 　教科書にもこのような説明は書いてはありますが、公式[1]を公式[0]と同列の扱いで四角で囲んだりするものです から、皆さんの多くが、直線の公式は[0]と[1]の２本が別々に存在していて、場面に応じ て使い分けなくてなならないのだというように受け取ってしまうのだと思います。 　実際、[1]の分数の部分が直線の傾きなのだということもすっかり忘れて、ひたすら２ 点の座標をポチポチと当てはめている生徒が多数います。 　しかし、本質的には、[1]と[0]は同じものなのです。 　むしろ、直線上の２点の座標から傾きを出すところだけをひとつの公式として独立させ ておいた方が有用です。 　なお、傾きの式において、分子分母の引く順序については、本シリーズの「002 引き算 の順序」で説明しています。 　あと、点の座標として を用いても結果は同じになります。つまり、２点のう ちのどちらを用いても良いので、公式としては、 　　　 も併記しておくべきでしょうが、教科書にはその記述はありません。 　皆さん、もし、問題がＡ，Ｂでなく、２点ＰとＣを通る直線などとなっているとき、公 式中の にＰとＣのどちらを当てはめればよいのか、迷ったり不安になったりし ませんか。あるいはそのような経験はありませんか。 　教員は、このことをきちんと補足をしてください。 [2] について 　曲線 上の点 における接線の傾き は であり、当然、接点で ある を通ります。したがって、点 を通り、傾き の直線と いうことで公式[0]を適用すれば良いのです。 　これも、[2]を独立した公式であるかのように四角に囲んだりするから、生徒は、また 公式が増えたという印象を持ってしまうのです。 　皆さんの中には、場面に応じて[0][1][2]の３本の公式を使い分けるのだという感覚で いる人も多いのではないでしょうか。 　しかし、本質はそうではないのだ、[0]を基本にして、[1]や[2]は、傾きを別途求めて [0]を適用するのだということをここで理解することができれば、きっと数学の学力はもっ と伸びると思います。 [1] に関する補足 　[1]の分母を払うと 　[3]　異なる２点 , を通る直線の方程式 　　　　 となります。これは、[1]とは比較にならないくらい有意義です。 　分母を払ったおかげで、 という条件が必要なくなるのです。 　 の場合は、２点 ， が 軸に対して垂直方向に並んでい るのですから、直線ＡＢに傾きという概念は当てはめられず、したがって、傾きを使う 公式[1]では という制限がつくのです。 　それに対して[3]は、 の場合にはちゃんと が得られます。 　このときは当然、 です。なぜなら、 だと、ＡとＢは同一の点になっ てしまい、直線が定まらないからです。 　公式[3]なら、[0]とは違う価値を持った公式として別に四角に囲って載せる価値がある のです。

　　　　　　　　　　　　このページの先頭へ　　　Top Page へ