～無駄な公式 003～
累乗根の根号に関する計算公式
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これは、指数関数の最初のところ、指数を分数に拡張する直前で学ぶようになっている
公式です。見るからにややこしそうでしょ？
ちなみに、根号
は、
ｎ＝2 の場合には
の左側の 2 を
省略して
と書きます。つまり、中学校で習った平方根なのであり、ｎ＝2 の場合の公式１，２，３は中学校で習っ
たはずのものです。（根号の左側の小さなｎを消してみよ。）
また、ｎ＝3 の場合は３乗根（のうちの実数のもの）になりますが、これは立方根とも
いうということは、３次方程式を学ぶ際に出てきます。ただ、そこでは根号は出てきませ
ん。
さて、もう一度上の公式を見てください。
ｎ＝2 の場合に公式１，２，３が成り立つことを考えれば、ｎ＞2 の場合も同様のこと
が成り立つということで、さほど混乱は起こらないでしょう。
ここで「無駄な公式」として挙げたいのは、４と５です。赤で囲っておきました。
累乗根は、指数関数の学習中に出てくる話で、指数関数からすると根号の取り扱いは枝
葉の部分です。しかも、根号の計算練習をやった直後に、これらは指数法則ですべて統一
的に扱えるということを学ぶのですから、根号のところにとどまって練習を繰り返すのは
無駄である、という意味で、特に定着しにくい４と５を槍玉に挙げたのです。
根号の概略
一般に、
を正の整数として、
を満たす数
を、
のｎ乗根といい、２乗根、３乗根、… を一括して累乗根といいます。
ｎ乗根のうち実数のもの、また、実数のものが正と負の二つある場合には正の方を
と表します。分数指数の定義
ｎ乗根の根号と指数の関係は
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 … ① |
が基本です。これは、指数法則が成り立つように
の意味を定義したのです。つまり、
となるべきですから、
とおくと∴
という具合です。ただし、ここでは話を複雑にしないために
という制約をつけておきます。
この定義から
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 あるいは
 … ② |
が成り立つことは明らかですね。
さて、分数指数を学習する際には、根号については、その定義①とそこから即座に得ら
れる②、そして、冒頭の公式のうちの１～３だけ理解しておれば十分です。
それなのに、指数を分数に拡張する前に、根号の計算例題や練習として
(1)
(2)
というような練習をするようになっています。
しかし、これらは、直後に学ぶ分数指数を用いれば、
(1)'
(2)'
という具合に、指数法則を利用した方法に統一できるのです。
指数が主役のところですから、さっさと指数による計算に移り、根号だけで処理するこ
とに時間をかける必要はありません。
といっても、私は根号が不要だと言いたいわけでもないし、根号を悪者扱いするつもり
もありません。
根号は、累乗根という意味は分かりやすいわけで、先ほどの(2)においては、
なので
．したがって(1)''
というやり方で、根号の理解を深めたいところです。
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